رابطه تصادفی چگونه محاسبه می شود؟

اطلاعات مقاله

اطلاعات مجله

مجله آمریکایی ریاضیات محاسباتی و کاربردی

P-ISSN: 2165-8935 E-ISSN: 2165-8943

روابط سازنده استرس و کرنش در روش عناصر محدود تصادفی

Drakos Stefanos

مرکز بین المللی مهندسی محاسباتی ، رودس ، یونان

مکاتبات با: Drakos Stefanos ، مرکز بین المللی مهندسی محاسباتی ، رودس ، یونان.

کپی رایت © 2015 انتشارات علمی و دانشگاهی. کلیه حقوق محفوظ است.

این کار تحت مجوز بین المللی Creative Commons Attribution (CC توسط) مجاز است. http://creativeecommons. org/licenses/by/4. 0/

تجزیه و تحلیل و طراحی در مشکلات مهندسی ساختاری و ژئوتکنیک نیاز به محاسبه استرس و کرنش دارد که به دلیل عدم اطمینان و تنوع مکانی از خواص مواد خاک ، به طور کلی کار دشواری است. در این مقاله روشی برای انجام تجزیه و تحلیل عناصر محدود تصادفی با استفاده از هرج و مرج چند جمله ای به منظور انتشار عدم قطعیت های ورودی به رابطه سازنده استرس و کرنش ارائه شده است. این مشکل توسط بسیار غیر خطی حاکم است. از جمله روشهای دیگر این روش منجر به هزینه محاسباتی کارآمد برای مشکلات عملی واقعی می شود. این امر توسط میدان جابجایی هرج و مرج چند جمله ای ، استرس و کرنش نیز حاصل می شود. نمونه ای از بار نوار هواپیما بر روی یک بنیاد الاستیک نیمه نامحدود ارائه شده است و نتایج تسویه حساب با نتایج به دست آمده از روش محلول فرم بسته مقایسه می شود. تطبیق نزدیک این دو مشاهده شده است. رابطه سازنده استرس و کرنش به عنوان نتیجه گسترش هرج و مرج چند جمله ای و روش مونت کارلو ارائه شده است. تطبیق نزدیک این دو روش نیز مشاهده می شود.

واژه های کلیدی: روش عناصر محدود تصادفی ، روابط سازنده ، هرج و مرج چند جمله ای ، کمیت عدم اطمینان

این مقاله را ذکر کنید: Drakos Stefanos ، روابط سازنده استرس و کرنش در روش عناصر محدود تصادفی ، مجله آمریکایی ریاضیات محاسباتی و کاربردی ، جلد. 5 شماره 6 ، 2015 ، صص 164-173. doi: 10. 5923/j. ajcam. 20150506. 02.

طرح بندی مقاله

1. معرفی

تجزیه و تحلیل و طراحی در مشکلات مهندسی ساختاری و ژئوتکنیک مستلزم محاسبه استرس و کرنش است که به دلیل عدم اطمینان و تنوع مکانی خاصیت مواد به طور کلی کار دشواری است. اشکال مختلف عدم قطعیت ها به وجود می آیند که به ماهیت شکل گیری زمین شناسی یا روش ساخت و ساز ، بررسی سایت ، نوع و صحت محاسبات طراحی و غیره بستگی دارد. عدم قطعیت به دلیل تأثیر بر ایمنی ، طراحی و همچنین هزینه پروژه ها. تعدادی از رویکردهای با استفاده از مفاهیم آماری در 25 سال گذشته در مهندسی ارائه شده است. این موارد شامل روش عناصر محدود تصادفی (SFEM) [1-3] و روش عناصر محدود تصادفی (RFEM) [4-8] است. RFEM شامل تولید یک میدان تصادفی از خصوصیات خاک یا ساختار با میانگین کنترل شده ، انحراف استاندارد و طول همبستگی مکانی است که سپس بر روی یک مش عنصر محدود نقشه برداری می شود. با این حال تعداد آثار در مورد استرس تصادفی و محاسبه کرنش و لحظه های آماری آنها محدود است. یک مقاله اساسی در این زمینه توسط Ghosh & Farhat [9] ارائه شده است که در آن رابطه سازنده استرس و کرنش که توسط رویکردهای مختلف محاسبه می شود. در گذشته SFEM با استفاده از انبارهای مختلف متغیرهای تصادفی توسعه یافته است. در این مقاله SFEM [11-13] را با استفاده از روش هرج و مرج چند جمله ای عمومی (GPC) ارائه می دهیم [14]. برای از بین بردن فرآیند تصادفی مواد از گسترش Karunen-Loeve استفاده شده و ارائه می شود. رابطه سازنده استرس و کرنش با استفاده از هرج و مرج چند جمله ای عمومی محاسبه شده و در برابر شبیه سازی مونت کارلو تأیید شده است که به عنوان راه حل دقیق بر اساس یک سری آزمایش محاسباتی درمان می شود. یک نمونه عددی از تسویه حساب بنیادی که در قسمت آخر مقاله و نتایج حل و فصل در مقایسه با موارد ناشی از محلول فرم بسته ایجاد شده است. دو روش استرس و سویه های رابطه سازنده نیز در مقایسه و نتایج ارائه شده است.

2. توضیحات مشکل و فرمول مدل

بگذارید یک مشکل ارزش مرزی کلی از محاسبه تغییر شکل احتمالی بدنه ای از شکل دلخواه را در نظر بگیریم که خصوصیات متغیر متغیر ناشی از استفاده از یک بار تصادفی متفاوت همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است.

طبق نظریه خاصیت ارتجاعی ، یک مسئله ارزش مرزی را می توان به شرح زیر توصیف کرد:

و به شکل ضعیف به عنوان:

جایی که:

به منظور مدل سازی مشکل با فرض فضای نمونه که در آن σ- جبر قرار دارد و در نظر گرفته می شود که تمام اطلاعات موجود را در بر می گیرد ، اندازه گیری احتمال و دامنه مکانی خاک یا ساختار است. مدول ارتجاعی و بار خارجی که به عنوان زمینه های تصادفی مرتبه دوم در نظر گرفته می شود و عملکرد آنها توسط توزیع خاص مشخص می شود و در مورد ما به عنوان lognormal مشخص می شود. با توجه به AS و میانگین ارزش انحراف استاندارد و ضریب تغییر مدول کشش ، توزیع lognormal داده شده است [8]:

جایی که میانگین مقادیر و واریانس توزیع برابر است با:

و برای جدا کردن قسمت قطعی از قسمت تصادفی فرمولاسیون ، از گسترش Karhunen-Loeve استفاده شده است. این به عنوان کارآمدترین روش برای گسسته سازی یک میدان تصادفی در نظر گرفته می شود و نیاز به کمترین تعداد متغیرهای تصادفی برای نشان دادن این زمینه در یک سطح معین از دقت دارد. براساس آن ، فرآیند تصادفی مدول جوان بر روی حوزه مکانی با میانگین ارزش شناخته شده و ماتریس کواریانس با فرض توزیع lognormal توسط:

در عمل ، محاسبات بیش از تعداد محدودی از جمع آوری (به عنوان مثال 1-5) انجام شد ، بنابراین بازنمایی تصادفی تقریبی توسط بخش گسترده ای از گسترش داده می شود:

در آن: آیا مقادیر eingenvalues عملکرد کواریانس ، عملکردهای عملکرد کواریانس و جفت های eingenvalues و عملکردهای مختلف توسط معادله است:

با استفاده از گسترش Karhunen-Loeve ، تانسور خاصیت ارتجاعی تصادفی توسط:

از نظر نسبت (قطعی) نسبت پواسون به عنوان بیان شده است

برای محاسبه لحظات آماری خروجی محاسبات ، ما تغییر متغیر را انجام می دهیم و [10]. اگر متغیرهای تصادفی مستقل باشند و چگالی آن را نشان دهند ، چگالی مفصل توسط:

Drakos & Pande [12 ، 13] با استفاده از هرج و مرج چند جمله ای عمومی (پیوست A) الگوریتم جدیدی از روش محدود تصادفی ایجاد کرد و ثابت کرد که فرمول مشکل شکل نهایی دارد:

جایی که:

B ماتریس جابجایی کرنش است. عملکرد کلاه است. هرج و مرج چند جمله ای است

3. روابط سازنده استرس و کرنش

محاسبه رابطه سازنده استرس و کرنش در صورت بروز مشکلات تصادفی کاملاً پیچیده است به خصوص وقتی که متغیر آنها در جایی که معادلات بسیار غیرخطی شوند ، مورد نیاز است. در [9] چندین طرح ادغام عددی برای ارزیابی لحظات آماری سویه ها و استرس در یک سیستم تصادفی ارائه شده است. در کار فعلی انتشار عدم اطمینان ورودی به استرس و رابطه کرنش توسط گسترش هرج و مرج چند جمله ای مدل شده و در برابر شبیه سازی مونت کارلو تأیید می شود که به عنوان محلول دقیق مشکلات درمان می شود. اجرای محاسباتی روش مونت کارلو منجر به تولید میدان تصادفی می شود و عملکرد درخواست شده برای هر تحقق مقدار جدیدی دریافت می کند. در پایان همه شبیه سازی ها لحظه آماری محاسبه می شود. مقدار مورد انتظار و واریانس توسط:

در یک مشکل الاستوستاتیک بدن ایزوتروپیک همگن یکی از معادلات میدانی که باید در تمام نقاط داخلی بدن راضی باشد ، روابط جابجایی فشار است:

با استفاده از گسترش هرج و مرج چند جمله ای جابجایی

از کجا: Q و ψ در پیوست A معادله 17 به:

3. 1ارزش مورد انتظار سویه ها

با توجه به گسترش هرج و مرج چند جمله ای سویه ها ، مقدار مورد انتظار می تواند با موارد زیر ارزیابی شود:

3. 2واریانس سویه ها

به ارزیابی ارزش مورد انتظار و خصوصیات چند جمله ای هرج و مرج احترام می گذارد ، واریانس تانسور کرنش را می توان به این صورت محاسبه کرد:

3. 3ارزش مورد انتظار تنش استرس

رابطه سازنده استرس و کرنش داده شده توسط معادله مشهور معادله قانون هوک:

با استفاده از گسترش هرج و مرج چند جمله ای از سویه ها:

با توجه به توزیع مدول ارتجاعی و گسترش چند جمله ای هرج و مرج تانسور کرنش ، مقدار مورد انتظار تنش استرس شکل زیر را می گیرد:

3. 4واریانس تنش استرس

با محاسبه ارزش مورد انتظار تنش استرس و دانستن معادله تصادفی آن از رابطه سازنده قانون هوک ، واریانس تانسور استرس را می توان به صورت محاسبه کرد: با توجه به توزیع مدول کشش واریانس تنش استرس برابر است:

3. 5محاسبه فشار منافذ

مسئله اصلی در طیف گسترده ای از مشکل ژئوتکنیکی و ژئومکانیک تخمین فشار بیش از حد منافذ در زمین است. با استفاده از گسترش چند جمله ای هرج و مرج ، لحظه های آماری فشار منافذ را می توان به شرح زیر ارزیابی کرد. فشار منافذ توسط معادله زیر داده می شود:

کجا: آیا فشار حجمی [15] نشان داده شده است

با فرض حداقل مقدار

3. 5. 1. مقدار مورد انتظار فشار منافذ

مقدار مورد انتظار فشار منافذ نتیجه جمع آوری مقدار مورد انتظار گسترش هرج و مرج کرنش است که توسط مدول سیال تصادفی ضرب شده است:

تعویض توزیع طولانی طبیعی o مدول ارتجاعی که می گیریم: و در آخر

3. 5. 2. واریانس فشار منافذ

با استفاده از نتیجه فشار منافذ مقدار مورد انتظار ، واریانس آن توسط: کجا:

3. 6متغیرهای تنش استرس

به خوبی شناخته شده است که برای حل مشکل مهندسی ، خود مدل باید مستقل از سیستم مختصات متصل به مواد تعریف شود. بنابراین ، لازم است مدل را از نظر متغیرهای استرس تعریف کنید که طبق تعریف ، مستقل از سیستم مختصات انتخاب شده است. محتوای فیزیکی یک تانسور استرس منحصراً در متغیر استرس منعکس می شود. جایی که:

حل یک مشکل تصادفی لحظه های آماری استرس مورد نیاز است. در بندهای زیر محاسبه مقدار مورد انتظار و واریانس هر یک از متغیرها ارائه شده است.

3. 6. 1. مقدار مورد انتظار من 1

با توجه به خطی بودن مقدار استثناء می توان محاسبه کرد: از کجا:

وت

3. 6. 2. واریانس من 1

دانستن میانگین ارزش واریانس: اما به دلیل خطی بودن: از کجا:

3. 6. 3. ارزش مورد انتظار من 2

همانطور که قبلاً نشان داده شده است: این می دهد

3. 6. 4. واریانس من 2

واریانس به دلیل محصول استرس در معادله آن بسیار غیرخطی می شود. بنابراین کجا:

3. 6. 5. ارزش مورد انتظار من 3

غیر خطی بالا نیز در لحظات آماری ارائه شده است. این منجر به:

3. 6. 6. واریانس من 3

به طور مشابه همانطور که در بالا ثبت شده است ، واریانس برابر است با: کجا:

4. مثال عددی

یک مسئله پی کم عمق برای مقادیر مختلف ضریب تغییرات با در نظر گرفتن تصادفی بودن زمین حل می شود. برای تخمین گشتاورهای آماری تغییر شکل خاک، الگوریتم عددی SFEM با استفاده از آشوب چند جمله ای تعمیم یافته همانطور که در پاراگراف های قبل توضیح داده شد، اعمال می شود و نتایج با نتایج به دست آمده از راه حل شکل بسته مقایسه می شوند. برای جلوگیری از مقادیر منفی مدول الاستیک فرض می شود که دارای لگ نرمال است. مشخص است که نشست زیر یک پی با مدول الاستیک یکنواخت اما تصادفی با معادله [8] به دست می آید:

کجا: ارزش قطعی تسویه با همه جا است. با فرض توزیع لگ نرمال برای نشست ها، مقادیر میانگین برابر است

هندسه عناصر محدود مورد استفاده برای شبیه سازی مسئله در شکل 2 ارائه شده است. داده های ورودی مسئله، مدول میدان تصادفی با مقدار میانگین ثابت برابر با 100 Mpa و نسبت پواسون ثابت برابر با 0. 25 است. محاسبات برای ده ضریب مختلف مدول الاستیک با حداقل مقدار 0. 1 و سپس با مرحله 0. 1 تا حداکثر مقدار برابر با 1 انجام شده است. تصادفی بودن مدول الاستیسیته در شکل 3 نشان داده شده است. برای SFEM از هرمیت GPC یک بعدی با سفارش 5 [14] استفاده شد. در شکل B1 نتایج روش SFEM در مقایسه با محلول فرم بسته نشان داده شده است و دقت بالایی را نشان می دهد. مشاهده می شود که برای v e = 0. 5 خطا برابر 0. 8٪ است. در شکل های B2-B13 کرنش ها و مؤلفه های تنش، فشار منفذی و متغیرهای تانسور تنش به عنوان نتیجه ی بسط چندجمله ای آشوب و مقایسه با مواردی که توسط روش مونت کارلو ایجاد شده اند، ارائه شده اند. شبیه سازی 1000-5000 نمونه انجام شد و با افزایش تعداد شبیه سازی های مونت کارلو، همگرایی نتایج کاهش می یابد.

5. نتیجه گیری ها

برای انتشار عدم قطعیت پارامترهای ورودی به روابط سازنده کرنش و استرس که در آن به دلیل تنوع مکانی پارامترهای مکانیکی خاک/سنگ در مشکلات ژئوتکنیکی و ژئومکانیک بوجود می آید ، روشی برای انجام تجزیه و تحلیل عنصر محدود تصادفی ارائه شده است. یک الگوریتم از عنصر محدود تصادفی با استفاده از هرج و مرج چند جمله ای ایجاد شده است. تجزیه و تحلیل تسویه بار بار نوار فشار هواپیما بر روی یک پایه الاستیک به عنوان نمونه ای از رویکرد پیشنهادی ارائه شده است. نشان داده شده است که نتایج SFEM با استفاده از هرج و مرج چند جمله ای به خوبی با نتایج به دست آمده از محلول فرم بسته مقایسه می شود. استرس و رابطه سازنده فشار فشار منافذ و متغیرهای استرس توسط گسترش هرج و مرج چند جمله ای مدل شده و در برابر شبیه سازی مونت کارلو تأیید می شود که به عنوان محلول دقیق مشکلات درمان می شود. مهمترین مزیت در استفاده از روش پیشنهادی این است که تعداد زیادی از تحقق که باید برای (روش عناصر محدود تصادفی) انجام شود ، اجتناب می شود ، بنابراین این روش را برای مشکلات عملی واقع گرایانه مناسب می کند.

پیوست اول

تقریب گالکین و چند جمله ای عمومی هرج و مرج به منظور حل مسئله 1 ما باید فضای جدیدی را ایجاد کنیم به همین دلیل فضای فرعی به عنوان [10] در نظر گرفته می شود.

با استفاده از محصول رنگ آمیزی فضا فضای ایجاد شده. بدین ترتیب

فضا دارای ابعاد QN است و عملکرد تست v را در نظر می گیرد. در موردی که عنصر محدودی که توسط شرایط مرزها پشتیبانی می شود وجود دارد ، پس فضای زیر راه حل تعلق دارد:

با فرض اینکه فضایی از چند جمله ای متعامد یک متغیر متغیر با ترتیب K یا پایین و:

محصول Tensor از فضای زیر M باعث ایجاد فضای هرج و مرج چند جمله ای عمومی شده است:

و استفاده (A4)

کجا و

Xiu & Kaiadakis [14] استفاده از روش برای نوع مختلف چند جمله ای های متعامد را نشان می دهد و در مقاله فعلی از چند جمله ای هرمیت با ویژگی های زیر استفاده شده است:

از کجا: فاکتورهای عادی سازی هستند ، آیا Delta Kronecker عملکرد چگالی است و

برای یک ترتیب 3 از یک بعد از عدم اطمینان ، هرج و مرج چند جمله ای هرمیت توسط:

ضمیمه B

نتایج نمونه عددی

منابع