قیمت گذاری گزینه: یک رویکرد ساده تر

ما یک نمایشگاه لاغر و غیر فنی در قیمت گذاری مشتقات وابسته به مسیر و اروپایی در مدل قیمت گذاری Cox-Ross-Rubinstein (CRR) ارائه می دهیم. ابزار اصلی مورد استفاده در این مقاله برای ساده کردن استدلال استفاده از استدلال های محافظت از استاتیک است. در استفاده از اصل محافظت از استاتیک ، اوراق بهادار Arro w-Debreu و گزینه های دیجیتالی یا فرآیندهای تصادفی عقب مانده را در نظر می گیریم. در مورد آخر ، مدل CRR به یک فضای حالت نامحدود گسترش می یابد که منجر به پدیده جدیدی جالب در مدل CRR کلاسیک نمی شود. در پایان ، ما در مورد پارادوكس مربوط به پارامتر رانش ( mu ) در قیمت گذاری مدل سیا ه-شول س-مرتون بحث می كنیم. ما تجزیه و تحلیل حساسیت و تقریب سرعت همگرایی را برای اثر ناپدید شدن بدون علامت در قیمت ها ارائه می دهیم.

روی نسخه خطی کار می کنید؟

1. معرفی

در این مقاله ، ما یک رویکرد شفاف و از نظر مالی قابل ردیابی برای تأیید فرمول های قیمت گذاری مشتقات مالی در یک مدل شبکه ارائه می دهیم.

مدل قیمت گذاری مشتقات ، سرچشمه در مقالات اصلی سیاه و اسکولز (1973) و مرتون (1973) (BSM) ، سنگ بنای قیمت گذاری مشتقات مدرن است. با این حال ، درک کامل رویکرد آنها نیاز به ماشین آلات ریاضی پیچیده و پیشرفته دارد. در تلاش برای کاهش این بار ، کاکس و همکاران.(1979) (CRR) یک مدل مشبک را معرفی کرد که با افزایش تعداد مراحل زمانی ، قیمت BSM را با سرعت بسیار سریع همگرایی تقریب می دهد (به عنوان مثال ، لیزن و ریمر 1996 را ببینید). مدل CRR موفق به ساده سازی مدل BSM می شود و درک آن در مقایسه با مدل BSM نیاز به پیچیدگی ریاضی بسیار کمتری دارد.

فرمول قیمت گذاری گزینه Binomial Co x-Ros s-Rubinstein مشهور بیان می کند که قیمت یک گزینه است

در جایی که F نشان دهنده بازپرداخت مشتق به سبک اروپایی در بلوغ است ، N تعداد مراحل زمانی برای بلوغ را نشان می دهد و R نرخ بهره بدون ریسک مربوط به هر مرحله زمانی است. پارامترهای U و D از مدل Binomial به ترتیب اندازه حرکات بالا و پایین را نشان می دهد و Q را می توان به راحتی از پارامترهای مدل محاسبه کرد (به فرقه ها مراجعه کنید. 2. 2 و 3. 1. 1).

مدل های شبکه ، با الهام از مدل CRR ، یک تکنیک مشترک و به خوبی تثبیت شده در ارزیابی مشتقات ارائه می دهند. ادبیات گسترده ای در مورد مدل های شبکه در امور مالی وجود دارد. از مدل های شبکه برای ارزیابی مشتقات ، مانند مشتقات مالی (BABBS 2000) ، گزینه های واقعی (Nembhard et al. 2002 ، 2003) و اوراق بهادار ترکیبی استفاده شده است (Das and Sundaram 2007 ؛ Gamba and Trigeorgis 2007). علاوه بر این ، از مدل های شبکه برای مدل سازی ساختار اصطلاح استفاده شده است (هیت و همکاران 1990) یا برای برآورد تراکم قیمت دولت توسط درختان ضمنی (Rubinstein 1994). در این مقاله ، ما همچنین پیامدهای گسترش فضای حالت در مدل دوتایی CRR را بررسی می کنیم. پیش از این ، مدل CRR در رفتارهای مختلف تعمیم یافته و گسترش یافته است. به عنوان مثال ، بویل (1988) مدل را گسترش می دهد تا مورد چندین متغیر دولتی را پوشش دهد ، و هال و وایت (1993) و Kascheev (2000) مدل را گسترش می دهد تا وابستگی مسیر را بهتر کند. علاوه بر این ، Chung and Shih (2007) با اضافه کردن یک پارامتر کشش ، مدل CRR را تعمیم می دهند. Broadie and Detemple (1996) از ترکیبی از شبکه CRR و فرمول سیاه و سیاه و سفید استفاده می کنند تا تقریب های جدیدی را به مقادیر گزینه های آمریکایی ارائه دهند.

مدل CRR در اصل قابل درک است ، و بنابراین ، مدل BSM ظاهراً پیچیده تر نیز می تواند با گسترش قابل درک باشد زیرا می تواند به عنوان یک حد مجانبی از مدل های CRR دیده شود. با این حال ، به نظر می رسد که گام مهم در مقاله CRR ، جایی که فرمول اصلی قیمت گذاری آنها توجیه شده است ، نادیده گرفته می شود. پس از بحث در مورد دو مرحله اول ، کاکس و همکاران. بیان کنید که آنها "اکنون یک روش بازگشتی برای یافتن ارزش تماس با هر تعداد دوره ای برای رفتن دارند" (کاکس و همکاران 1979 ، ص 238). پاورقی 1 محاسبات جایگزینی به عقب مورد نیاز طولانی می شود ، به خصوص برای بازپرداخت عمومی وابسته به مسیر ، حتی اگر این ایده در اصل ساده باشد. اگرچه مدل CRR به عنوان یک نسخه ساده از مدل BSM معرفی شد و به خوبی در آن موفق می شود ، برخی از مراحل محاسبات در نگاه اول ، مثلاً به دانش آموز شفاف نیست. استدلال های دقیق معمولاً تا حدودی پیچیده می شوند ، آنها به نظریه احتمال نیاز دارند ، به عنوان مثالMartingales و شهود مالی ممکن است به راحتی در جزئیات از بین برود.

در حقیقت ، ما نتوانسته ایم یک آرگومان لاغر برای فرمول قیمت گذاری CRR (1) در ادبیات مالی کمی پیدا کنیم.

در نتیجه ، یک گذرگاه خشن با ملاحظات احتیاطی در مورد درک مالی مدل BSM وجود دارد. هدف ما در اینجا ساده تر استدلال در مدل CRR است ، اساساً با استفاده از آرگومان های محافظت از استاتیک. همچنین ، ما امیدواریم که روش ما مدل CRR را تا حدودی قابل دسترسی تر کند ، به خصوص از دیدگاه آموزشی. درک رویکرد ما نیازی به تسلط بر چنین ماشین آلات ریاضی سنگین ، مانند مارتینگالس ندارد ، که ممکن است به عنوان مثال یک مفهوم آشنا برای یک دانشجوی مقطع کارشناسی نباشد.

بنابراین ، سهم اصلی این مقاله یک نتیجه جدید نیست ، بلکه ما یک استدلال ساده و اقتصادی گرا را برای مشتق کلاسیک به سبک اروپایی و فرمول های قیمت گذاری وابسته به مسیر کلی در مدل CRR ارائه خواهیم داد. ما اوراق بهادار Arrow-Debreu (AD) نوع (Arrow and Debreu 1954) و گزینه های دیجیتالی را به عنوان مفاهیم واسطه ای مناسب اعمال خواهیم کرد. این اوراق بهادار از نظر مالی به خوبی انگیزه دارند زیرا می توان آنها را به عنوان بلوک ساختاری طبیعی برای سایر اوراق بهادار مالی ، به ویژه مشتقات موجود در مورد ما در نظر گرفت. حتی اگر اوراق بهادار AD به خودی خود به طور فعال در بازار واقعی معامله نمی شوند ، محصولات ساختاری معامله شده به طرز موجهی از چنین اوراق بهادار تشکیل می شوند. بنابراین ، این اوراق بهادار از تراکم های جایگزین نظری ، خطر بی طرفانه خود ، قابل ردیابی تر به نظر می رسند. بر خلاف اوراق بهادار AD ، گزینه های دیجیتالی در بازار واقعی معامله می شوند.

این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. ابتدا مدل دوتایی را به یاد می آوریم و انواع مختلفی از بلوک های ساختمانی اتمی را در مدل خود توضیح می دهیم. ما نشان می دهیم که چگونه قیمت اوراق بهادار AD ، یعنی نوع گزینه های ابتدایی در مسیرهای خاص قیمت های امنیتی اساسی ، به روشی نسبتاً ساده بوجود می آید. سپس ، ما با جمع آوری مناسب این اوراق بهادار AD ، قیمت های مشتق وابسته به مسیر را بدست می آوریم. به نظر می رسد که فرمول قیمت گذاری مشتقات کلاسیک به سبک اروپایی با جمع کردن گزینه های باینری به راحتی از بین می رود. اینها به نوبه خود از اوراق بهادار AD جمع می شوند یا در عوض می توانند با استفاده از یک پیاده روی تصادفی ساده به عقب در یک فضای حالت گسترده ، قیمت گذاری شوند. در مورد یک فضای دولتی گسترده ، فرآیندهای ارزش تخفیف ثابت می کنند که یک تغییر زمان کل جالب را نشان می دهند ، در مدل دوتایی استاندارد وجود ندارد. در پایان مقاله ، ما در مورد عدم ربطی پارامتر روند ( mu ) در قیمت گذاری BSM ، که کمی پارادوکس است ، بحث می کنیم.

ما تلاش کرده ایم تا استراتژی قیمت گذاری مشتقات مالی عمومی در مدل CRR را با دقت توضیح دهیم بدون اینکه به ماشین آلات فنی غیر ضروری متوسل شویم. ما به جای احتمالات بی طرف ریسک ، ما اوراق بهادار ابتدایی را از نظر مالی در نظر می گیریم. به طور خاص ، فرقه. 3. 2 امیدوارم که به عنوان "خلاصه اجرایی" در مورد اصول قیمت گذاری CRR ، که اساساً مستلزم تمام استدلال مالی مدل BSM است ، خدمت کند.

2 مقدماتی

اگرچه ما دانش مدل های شبکه را به عمق فرض نمی کنیم ، اما انتظار داریم برخی از آشنایی با اطلاعات مربوط به پیش زمینه را داشته باشیم. به عنوان مثال ، مونوگرافی های کوپلند و وستون (1992) ، لوئنبرگر (1998) ، هال (2015) ، فلمر و شید (2011) یا ون در هوک و الیوت (2006) را ببینید.

این بخش ابتدا برخی از یادداشت هایی را که بعداً در این مقاله استفاده می شود ، معرفی می کند و سپس مدل Binomial را تعریف می کند ، که به عنوان چارچوبی برای مقاله ما عمل می کند.

2. 1 برخی از نمادها

در این مقاله ، ما یک تنظیم زمان گسسته (t_n در [0 ، t] ) ، (n = 0 ، ldots ، n ) را در نظر می گیریم ، جایی که n تعداد مراحل زمانی را نشان می دهد و طول آنیک مرحله زمانی است.

قیمت دارایی زیرین در زمان (t_n ) توسط (s_n ) مشخص می شود. ما با استفاده از (f: mathbb rightarrow mathbb ) عملکرد بازپرداخت برخی از مشتقات مالی بهره. اطلاعات مربوط به پرداخت مشتق را رمزگذاری می کند. به عنوان مثال ، در زمان بلوغ (t_n = t ) ، یک گزینه تماس به سبک اروپایی و یک گزینه سبک اروپایی بازپرداخت فرم ها

$$x08egin f_>(S_N)&= max (S_N-K,0), end$$ $$x08egin f_>(S_N)&= max (K-S_N,0), end$$

به ترتیب ، جایی که K قیمت اعتصاب را نشان می دهد.

عملکرد شاخص به یک مفهوم مفید در توابع بازپرداخت تبدیل می شود. اگر a زیر مجموعه ای از مجموعه ( mathscr ) باشد ، پس عملکرد نشانگر ، ( mathbf _: mathscr rightarrow \) ، به عنوان تعریف می شود

$$x08egin mathbf _(x)=<left<x08egin 1 quad ext xin A,\ 0 quad ext x otin A. end ight.> end$$

با استفاده از نماد عملکرد نشانگر ، در زمان بلوغ (T_N = T ) ، بازپرداخت گزینه قرار داده شده مانع ، به عنوان مثال ، می تواند به شکل نوشته شود